如何用概率思维解释龟兔赛跑

很久很久以前，兔子和乌龟比赛谁先跑到一棵大树下面。兔子因为看不起乌龟的速度，在途中休息睡觉。而乌龟趁着兔子睡觉的时间，一步一步爬到了终点。

这是一个耳熟能详的寓言故事，寓意是人就要像乌龟一样，勤勤恳恳，方能成事。随着时间的的流逝，时代的更迭，这个故事已经被改成了众多版本。那今天我们从概率论的角度试着解读这篇寓言。

首先我们知道，从事件发生的可能性来看，这场比赛只能有三种结果。

结果一：乌龟赢

1996年，美国布鲁金斯学会（Brookings Institution）的Epstein和Axtell两人用计算机模拟开发出来了一个人工社会财富积累的模型，他们称之为“Sugarscape”。

游戏规则如下：

在一个二维的虚拟世界中分布着固定的“糖”资源，而随机分布的Agent（可以翻译为“小糖人”）在二维世界中游走，并通过不断的收集身边的“糖”来增加自身资源。游戏设定每个小糖人都会在一个周期中消耗一定单位的糖，当自身的糖消耗光的时候，这个小糖人就会死去。

游戏的结果是经过多次模拟，小糖人会形成两级分化，符合幂律分布的形态。如果把它的结果和社会形态相结合，得出这个结论：成功=天赋秉异 + 出身位置 + 随机的运气。

让我们结合龟兔赛跑的故事。对于兔子来说，它是一只兔子，天生比乌龟腿长，奔跑速度较快。从这两点可以看出，兔子占据泊松分布和幂律分布的顶端，获得冠军的概率较大。而乌龟天生腿短，且奔跑速度较慢。在泊松分布和幂律分布上看，和大多数人一样，处理中等的位置。

那乌龟的赢显然不在于前两个因素，而在于在正确的道路上不断的迭代。怎么解释呢？虽然兔子获胜的概率较大，不过在后天积累上，他几乎为零，这里我们理解为期望中的可能出现的所有结果。而乌龟一直在增加可能出现结果的权重，从而使其与概率的乘积即期望值变大，最终取得了胜利。

如果说随机的运气是可遇而不可求的，那我们能做的就是在正确的选择上，不断的进行迭代，增加赢的概率，从而实现华丽的转身，完成逆袭。

结果二：兔子赢

所用知识：小数定律，大数定律

我们知道第一场比赛，由于兔子的轻敌而输掉了比赛。兔子不服气，要求把赛制改成三局两胜。而乌龟由于赢了第一场比赛，有了自信，觉得自己赢得下两场的概率很大，同意加赛。比赛开始，兔子大改第一场的态度，一路小跑，远远甩开了乌龟了，赢得了比赛。第三场也是如此。这时，乌龟纳闷了，为什么自己会输呢？让我们先看下这两个概念。

大数定律：

在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律。通俗地说，这个定理就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。偶然中包含着某种必然。

小数定律：

小数定律认为人类行为本身并不总是理性的，在不确定性情况下，人的思维过程会系统性地偏离理性法则而走捷径，人的思维定势、表象思维、外界环境等因素，会使人出现系统性偏见，采取并不理性的行为。大多数人在判断不确定事件发生的概率时，往往会违背概率理论中的大数定律，而不由自主地使用“小数定律”，即滥用“典型事件”，忘记“基本概率”。

有了这两个概念，我们分析下乌龟的想法。因为随机样本的数量较少（第一场比赛），乌龟错以为这就是多次比赛的成功率，出现了赌徒谬论的逻辑。而兔子本身的天赋和出身决定了它获胜的概率本来就高于乌龟。在比赛次数无限多时，即时偶尔因为大意睡了几次觉，或由于运气不好，输了比赛，但总体的获胜次数还是会接近前两个因素给予的较大概率。

那如果我是乌龟的话，我就不会和兔子比赛，因为获胜的概率太低，拿自己的短板和别人的长板来比，必然是鸡蛋碰石头。那怎么做呢？和兔子比游泳。拿自己的优势去比别人的弱势，或拿自己的优势和别人的优势进行合作，就可以产生1+1>2的效果。